확장 유클리드 호제법 예제

따라서 확장 된 유클리드 단계는 다음과 같은 확장 된 유클리드 단계입니다 : 몫 $,q_i = lfloor r_{i-1}/r_irfloor$를 계산한 다음 행 $i $q$를 곱하고 행 $i!-!1.$ 구성 요소에서 빼면 각 열에서 $,r,b,,$$q곱할 $i 곱하면 $i $i!-!1$`th 항목에서 $i!!!1$`th 항목을 산출합니다. 2열과 3열을 무시하면 $,a_i,b_i$는 일반적인 유클리드 알고리즘입니다. 위의 는 이 알고리즘을 확장하여 명백한 초기 표현 $,,m,n,$의 선형 조합으로 각 나머지의 표현을 동시에 계산합니다., m=0(n),,$, $,n=0(m)+1(n),$,$는 더 효율적입니다. 이진 기술을 사용하여 컴퓨터에서 유클리드 알고리즘과 확장된 유클리드 알고리즘을 모두 수행하는 방법. [MENE97] 알고리즘 14.54 및 14.61 및 아래의 바이너리 GCD 코드를 참조하십시오. 예 3.3.2 $$일반 기준선 eqalign {(198,168)&= (168,30) cr & = (30,18) cr & = (18,12) cr & = (12,6) cr &= (6,0)=6. cr}$$ 유클리드 알고리즘은 Hurwitz 쿼터니언 세트와 같은 일부 비분류 링에 적용될 수 있습니다. [설명 필요] [128] α와 β가 그러한 링으로부터 2개의 원소를 나타낸다. 그들은 공통 오른쪽 제수 δ 경우 α = δ 및 β = θδ 링에서 일부 선택을 위한 것이다.

유사하게, 이들은 공통 좌제수를 가지며, α =dθ 및 β=d의 일부 선택을 위한 θ 및 링에서의 경우. 곱셈은 가환이 아니므로 유클리드 알고리즘의 두 가지 버전이 있는데, 하나는 오른쪽 제수와 왼쪽 제수에 대한 버전입니다. [128] 올바른 제수를 선택하면, 유클리드 알고리즘에 의한 gcd(α, β)를 찾는 첫 번째 단계는 베조우트의 정수 s와 t를 기록할 수 있으며 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 효율적으로 계산할 수 있다. 이 확장은 유클리드알고리즘[58] 유클리드 알고리즘에 두 개의 재귀 방정식을 추가하며, 더 큰 숫자가 작은 숫자와의 차이로 대체될 경우 두 숫자의 가장 큰 공통 제수가 변경되지 않는다는 원칙을 기반으로 합니다. 예를 들어, 21은 252 및 105의 GCD(252= 21× 12 및 105 = 21×5)이고, 동일한 숫자(21)는 또한 105 및 252-105 =147의 GCD이다. 이 대체는 두 숫자 중 더 큰 숫자를 줄이므로 이 프로세스를 반복하면 두 숫자가 같을 때까지 연속적으로 더 작은 숫자 쌍을 제공합니다. 이 경우 원래 두 숫자의 GCD입니다. 단계를 반전시킴으로써, GCD는 각각 양수 또는 음수 정수를 곱한 두 개의 원래 숫자의 합으로서 표현될 수 있다(예를 들어, 21= 5× 105+2) × 252. GCD가 항상 이런 식으로 표현될 수 있다는 사실은 베즈아웃의 정체성으로 알려져 있습니다.